Op de vorige pagina leidde iteratie van een kwadratische functie tot een onvoorspelbare baan. Voor lineaire functies $f(x)=ax+b$ is dat niet zo. Zij gedragen zich altijd braaf, maar wel met mooie spiralen voor de complexe getallen zoals we zullen zien in week 3.
Bij iteratie van $f(x)=\frac{1}{2}x$ met startwaarde $x_0=2$ krijg je de rij: $$2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \cdots$$ Het is duidelijk dat deze rij steeds dichter bij $0$ komt. We zeggen dan dat de rij convergent is en dat $f^n(2)$, als $n$ naar oneindig gaat, een limiet heeft die gelijk is aan $0$. Dit noteren we als: $$ \lim_{n\rightarrow\infty}f^n(2)=0 $$ Hierbij is $\infty$ het symbool voor oneindig.
Door op de play-knop van de onderstaande animatie te drukken zie je de eerste 25 getallen verschijnen van de baan van $x_0=-1$ voor de functie:
$$f(x)=-\frac{4}{5}x+2$$
Terugkomend op de bovenstaande animatie: je kunt zien dat $x_{20}$ al heel dicht bij $p=\frac{10}{9}$ ligt.
Hoe groot is het verschil exact?
Om dit te berekenen kun je natuurlijk $x_{20}$ in twintig stappen uitrekenen.
Voor lineaire functies is dit echter niet nodig; alle getallen van de baan kunnen in één keer worden berekend met een directe formule. Om deze te vinden bekijken we eerst hoeveel de baan per iteratiestap dichterbij het vaste punt $p$ komt:
$$f(x_n)-p=-\frac{4}{5}x_n+2-p=-\frac{4}{5}x_n+2-(-\frac{4}{5}p+2)=-\frac{4}{5}(x_n-p)$$
Let op: hier gebruikten we op sneaky wijze dat $p$ gelijk is aan $f(p)$.
Dus: bij elke iteratiestap wordt de afstand tot $p$ vermenigvuldigd met een factor $ -\frac{4}{5}$.
Kortom:
$$
f^n(x_{0})-p = (-\frac{4}{5})^{n}\cdot(x_0-p).
$$
De afstand van $x_{20}$ tot $p$ is dus:
$$
|(-\frac{4}{5})^{20}\cdot(-1-\frac{10}{9})|=
\frac{20.890.720.927.744
}{858.306.884.765.625}(\approx 0,02)
$$
Hieronder bewijzen we dat voor elke lineaire functie $f(x)=ax+b$ waarvoor $a\neq 1$ geldt:
$$f^n(x_{0})-p = a^{n}\cdot(x_0-p)$$
ofwel:
$$f^n(x_{0})= p+a^{n}\cdot(x_0-p)$$
Deze laatste uitdrukking wordt de directe formule van $f^n$ genoemd omdat je hiermee in een keer, laten we zegggen, $f^{1000}(x_0)$ kunt uitrekenen in plaats van het aflopen alle tussenliggende iteratiestappen.
De baan convergeert voor elke startwaarde $x_0$ naar het vaste punt in het geval dat
$$
{-1 < a < 1}
$$
of, met de absolute waarde:
$$
|a|<1
$$
In de opgaven toon je aan dat:
$$p=\frac{b}{1-a}$$
Je ziet dat $a=1$ een speciaal geval is, vanwege het delen door nul. In dit geval is er geen vast punt.
Dit alles kunnen we samenvatten in de volgende stelling:
Hierboven zagen we dat als $|a|<1$ het verschil met het vaste punt $p$ exponentiëel afneemt
met de factor $|a|$. Voor elke startwaarde convergeert de baan dan dus naar $p$! We noemen $p$ dan een aantrekkend vast punt.
Voor $|a|>1$ loopt elke baan juist weg van het vaste punt (behalve de baan van $p$ zelf) dat daarom afstotend wordt genoemd.
Voor $a=-1$ flippen de banen rond het vaste punt. We zeggen dat de banen periodiek zijn met periode 2; er geldt namelijk:
$$
x_0=x_2=x_4=x_6 \cdots
$$
en
$$
x_1 =x_3=x_5=x_7\cdots
$$
Om over na te denken: ken jij nu al een functie die banen met periode 3 oplevert?
Wat hebben we tot nu toe gedaan?
We hebben iteratie van lineaire functies bestudeerd. Daarbij kwamen we voorbeelden tegen van een aantrekkend en een afstotend vast punt en een periodieke baan. Later zullen we deze begrippen precies definiëren. In week 1A zagen we een kwadratische functie met een mysterieuze baan.
Nu herinneren we ons dat de Mandelbrotverzameling te maken heeft met iteratie van complexe kwadratische functies. Daarom leren we op pagina 1D hoe de complexe getallen $\mathbb{C}$ werken.
Belangrijk hierbij is de rotatie die hoort bij het vermenigvuldigen van complexe getallen. Dit verduidelijken we op de volgende webpagina met de (fictieve) satellieten van de planeet Origo.
Dit voorbeeld komt ook van pas bij Juliaverzamelingen en uiteindelijk bij de Mandelbrotverzameling zelf. Om er in te komen allereerst een raadsel.
Als je hieronder op de play-knop drukt begint de satelliet $S$ te bewegen rond de (denkbeeldige) planeet Origo ($O$).
Ten oosten hiervan ligt het speciale punt $E$, de bewoners van Origo drukken afstand in de ruimte uit in eenheden $OE$.
Zo bezien beweegt de satelliet op de eenheidscirkel rond $O$.
Het is een versnelde animatie want elk stapje stelt de verandering in één dag voor.