Stelling van lineaire functies

Itereer met $\;f(x)=ax+b\;$ waarbij $a,b\in\mathbb R$ en $a\neq 1$. Voor een startwaarde $x_0$ geldt: $$f^n(x_{0})= p+ a^{n}\cdot(x_0-p)$$ waarbij $p$ het vaste punt van $f$ is.

De baan van $x_0$ convergeert alleen naar $p$ als $|a|<1$

Bewijs

In plaats van de rij $(x_n)$ bekijken we de rij van de verschillen met het vaste punt: $$ x_0-p,\;x_1-p,\; x_2-p, \;x_3-p,\;\cdots $$ We gaan laten zien dat dit een meetkundige rij is met reden $a$. Voor elk positief geheel getal $k$ geldt namelijk: $$ x_k-p=f(x_{k-1})-p=ax_{k-1}+b-p=ax_{k-1}+b-(ap+b)=a(x_{k-1}-p) $$ Bij elke iteratie stap wordt het verschil met $p$ dus vermenigvuldigd met factor $a$. Dit levert: $$ x_n-p= f^n(x_0)-p=a^n(x_0-p) $$ ofwel $$ f^n(x_0)=p+a^n(x_0-p) $$ Het is duidelijk dat de machten $a^n$ alleen convergeren als $|a|<1$ ❑

Blikwisseling

Hierboven zag je dat het handig was om de situatie vanuit het vaste punt te bekijken. Vanuit een hoger standpunt gezien pasten we de coördinatentransformatie $x\mapsto x-p$ toe. Het belang van coördinatentransformaties kan niet makkelijk overschat worden. De relativiteitstheorie van Einstein is gebouwd op de veronderstelling dat bepaalde natuurkundige wetten onder elke coördinatentransformatie gelijk blijven.